Question

【题目】如图，O在等边△ABC内，∠AOB=100°，∠BOC=x，将△BOC绕点C顺时针旋转60°，得△ADC，连接OD．

（1）△COD的形状是　 　；

（2）当x=150°时，△AOD的形状是　 　；此时若OB=3，OC=5，求OA的长；

（3）当x为多少度时，△AOD为等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）等边三角形；（2）直角三角形，OA=；（3）x=100°，x=130°，x=160°时，△AOD为等腰三角形．

【解析】

（1）由旋转的性质得出CO=CD、∠OCD=60°即可知△COD是等边三角形；
（2）由旋转可以得出OC=DC，∠DCO=60°，就可以得出△ODC是等边三角形，就可以得出∠ODC=60°，从而得出∠ADO=90°，而得出△AOD的形状；最后用勾股定理即可求出OA；
（3）由条件可以表示出∠AOC=250°-a，就有∠AOD=190°-a，∠ADO=a-60°，当∠DAO=∠DOA，∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA时分别求出a的值即可．

解：（1）△COD是等边三角形，

∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°

∴CO=CD

∴△COD是等边三角形．

故答案为：等边三角形；

（2）当α=150°时，△AOD是直角三角形．

∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC

∴△BOC≌△ADC，

∴∠BOC=∠ADC=150°

由（1）△COD是等边三角形

∴∠ODC=60°

∴∠ADO=150°﹣60°=90°

当α=150°时，△AOD是直角三角形．

由旋转知，AD=OB=3，

∵△COD是等边三角形，

∴OD=OC=3，

在Rt△AOD中，根据勾股定理得，OA== ；

故答案为：直角三角形；

（3）∵∠AOB=100°，∠BOC=x，

∴∠AOC=260°﹣x．

∵△OCD是等边三角形，

∴∠DOC=∠ODC=60°，

∴∠ADO=x﹣60°，∠AOD=200°﹣x，

①当∠DAO=∠DOA时，

2（200°﹣x）+x﹣60°=180°，

解得：x=160°

②当∠AOD=ADO时，

200°﹣x=x﹣60°，

解得：x=130°，

③当∠OAD=∠ODA时，

200°﹣x+2（x﹣60°）=180°，

解得：x=100°

∴x=100°，x=130°，x=160°△AOD为等腰三角形．