Question

【题目】二次函数y=ax2+bx+4的图像与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）

（1）求此二次函数的表达式
（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣ ，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标
（3）如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45°，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当x=0时，y=4，

∴C（0，4）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入得：﹣4a=4，解得a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4

（2）

解：x=﹣ = ．

∴CD= ，EF= ．

设点N的坐标为（ ，a）则ND=4﹣a，NE=a．

当△CDN∽△FEN时， ，即 ，解得a= ，

∴点N的坐标为（ ， ）．

当△CDN∽△NEF时， ，即 = ，解得：a=2．

∴点N的坐标为（ ，2）．

综上所述，点N的坐标为（ ， ）或（ ，2）

（3）

解：如图所示：过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥x轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．

∵AM=AE，∠MAE=90°，

∴∠AMP=45°．

将x=1代入抛物线的解析式得：y=6，

∴点M的坐标为（1，6）．

∴MD=2，AD=6．

∵∠DAM+∠MAF=90°，∠MAF+∠FAE=90°，

∴∠DAM=∠FAE．

在△ADM和△AFE中， ，

∴△ADM≌△AFE．

∴EF=DM=2，AF=AD=6．

∴E（5，﹣2）．

设EM的解析式为y=kx+b．

将点M和点E的坐标代入得： ，解得k=﹣2，b=8，

∴直线EM的解析式为y=﹣2x+8．

将y=﹣2x+8与y=﹣x2+3x+4联立，解得：x=1或x=4．

将x=4代入y=﹣2x+8得：y=0．

∴点P的坐标为（4，0）

【解析】（1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）先求得抛物线的对称轴，然后求得CD，EF的长，设点N的坐标为（0，a）则ND=4﹣a，NE=a，然后依据相似三角形的性质列出关于a的方程，然后可求得a的值；（3）过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥x轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．则△AME为等腰直角三角形，然后再求得点M的坐标，从而可得到MD=2，AD=6，然后证明∴△ADM≌△AFE，于是可得到点E的坐标，然后求得EM的解析式为y=﹣2x+8，最后求得直线EM与抛物线的交点坐标即可．