Question

【题目】如图，是的直径，延长至点，过点作的切线，切点为，过点向的延长线作垂线交该延长线于点，交于点，已知，．

求的长；

连结，延长交于，连结．

①求的长；

②求证：是的切线．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②见解析

【解析】

（1）在直角△OPC中，利用勾股定理即可得到圆的半径长，然后利用相似三角形的性质求得BE的长；

（2）①证明△OBD是等边三角形，即可求得DE的长；

②首先证明△OPC≌△OPF，根据切线的判定定理即可证得．

（1）设圆的半径是r，则OP=PA+r=1+r，OC=r，PC=r．

∵PC是圆的切线，∴∠PCO=90°，在直角△PCO中，PC2+OC2=OP2，即（r）2+r2=（1+r）2，解得：r=1或r=﹣（舍去负值）．

在直角△OPC中，cos∠POC==，∴∠POC=60°．

∵∠PCO=90°，BE⊥BC，∴BE∥OC，∴△OPC∽△BPE，∠OBD=∠POC=60°，∴==，∴BE=OC=；

（2）①在△OBD中，OB=OD，∠OBD=60°，∴△OBD是等边三角形，BD=OB=1，∠BOD=60°，∴DE=BE﹣BD=﹣1=；

②∵∠POC=60°，∠BOD=60°，∴∠POF=60°，∴∠POC=∠POF．在△OPC和△OPF中，∵，△OPC≌△OPF（SAS），∴∠OFP=∠OCP=90°，∴PF是⊙O的切线．