Question

【题目】如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过O作EF⊥AC，交AD于E，交BC于F，连接AF、CE．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB=3，BC=4，求菱形AECF的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）12.5．

【解析】

试题分析：（1）利用已知条件和矩形的性质易证△AEO≌△CFO，进而可得四边形AECF是平行四边形，又因为EF⊥AC，所以可证明四边形AECF是菱形

（2）设AE=CE=x，则DE=4﹣x，在直角三角形EDC中，利用勾股定理可求出x的值，进而可求出菱形的周长．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，∵EF⊥AC，∴∠AOE=∠COF=90°，在△AEO和△CFO中，∵∠OAE=∠OCF，AO=CO，∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO，∴OE=OF，∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，BC=AD=4，AE=CE=x，则DE=4﹣x，在直角三角形EDC中由勾股定理可得：CE2=DE2+CD2，即a2=（4﹣a）2+32，解得：a=，∴菱形AECF的周长=4×=12.5．