Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，E、F分别是AB、AC的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t＝___时，△PQF为等腰三角形．

Answer 1

【答案】2﹣或．

【解析】

由勾股定理和含30°角的直角三角形的性质先分别求出AC和BC，然后根据题意把PF和FQ表示出来，当△PQF为等腰三角形时分三种情况讨论即可.

解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，

∴AC＝2AB＝4cm，BC＝＝2，

∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴EF＝BC＝cm，BF＝AC＝2cm，

由题意得：EP＝t，BQ＝2t，

∴PF＝﹣t，FQ＝2﹣2t，

分三种情况：

①当PF＝FQ时，如图1，△PQF为等腰三角形．

则﹣t＝2﹣2t，

t＝2﹣ ；

②如图2，当PQ＝FQ时，△PQF为等腰三角形，过Q作QD⊥EF于D，

∴PF＝2DF，

∵BF＝CF，

∴∠FBC＝∠C＝30°，

∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴EF∥BC，

∴∠PFQ＝∠FBC＝30°，

∵FQ＝2﹣2t，

∴DQ＝FQ＝1﹣t，

∴DF＝ （1﹣t），

∴PF＝2DF＝2（1﹣t），

∵EF＝EP+PF＝ ，

∴t+2（1﹣t）＝ ，

t＝ ；

③因为当PF＝PQ时，∠PFQ＝∠PQF＝30°，

∴∠FPQ＝120°，

而在P、Q运动过程中，∠FPQ最大为90°，所以此种情况不成立；

综上，当t＝2﹣或时，△PQF为等腰三角形．

故答案为：2﹣ 或 ．