Question

【题目】如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB于点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F，连接OC、FC．

（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）若FC∥AB，求证：四边形AOCF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由翻折可知∠FAC=∠OAC，∠E=∠ADC=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC∥AE

∴∠OCE=90°，

即OC⊥CE，

∵OC是⊙O的半径

∴CE是⊙O的切线；

（2）证明：∵FC∥AB，OC∥AF，

∴四边形AOCF是平行四边形，

∵OA=OC，

∴平行四边形AOCF是菱形．

【解析】（1）由翻折可知∠FAC=∠OAC，∠E=∠ADC=90°，由OA=OC，根据对边对等角得到∠OAC=∠OCA，得到OC∥AE，得到CE是⊙O的切线；（2）由FC∥AB，OC∥AF，得到四边形AOCF是平行四边形，由菱形的定义OA=OC，得到平行四边形AOCF是菱形.
【考点精析】关于本题考查的菱形的判定方法和切线的判定定理，需要了解任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能得出正确答案．