Question

【题目】如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E，直线BM，CN交于点F．

（1）求证：AN=MB；
（2）求证：△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在（2）中画出符合要求的图形，并判断（1）（2）题中的两结论是否依然成立．并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形，

∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，

在△CAN和△MCB中，

，

∴△CAN≌△MCB（SAS），

∴AN=BM

（2）证明：∵△CAN≌△MCB，

∴∠CAN=∠CMB，

又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠MCF=∠ACE，

在△CAE和△CMF中，

，

∴△CAE≌△CMF（ASA），

∴CE=CF，

∴△CEF为等腰三角形，

又∵∠ECF=60°，

∴△CEF为等边三角形

（3）解：连接AN，BM，

∵△ACM、△CBN是等边三角形，

∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中，

，

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴AN=MB．

当把MC逆时针旋转90°后，AC也旋转了90°，因此∠ACB=90°，很显然∠FCE＞90°，因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形，

即结论1成立，结论2不成立．

【解析】（1）可通过全等三角形来得出简单的线段相等，证明AN=BM，只要求出三角形ACN和MCB全等即可，这两个三角形中，已知的条件有AC=MC，NC=CB，只要证明这两组对应边的夹角相等即可，我们发现∠ACN和∠MCB都是等边三角形的外角，因此它们都是120°，这样就能得出两三角形全等了．也就证出了AN=BM．（2）我们不难发现∠ECF=180﹣60﹣60=60°，因此只要我们再证得两条边相等即可得出三角形ECF是等边三角形，可从EC，CF入手，由（1）的全等三角形我们知道，∠MAC=∠BMC，又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此时三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我们再根据∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等边三角形的结论．（3）判定结论1是否正确，也是通过证明三角形ACN和BCM来求得．这两个三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB，因此两三角形就全等，AN=BM，结论1正确．如图，当把MC逆时针旋转90°后，AC也旋转了90°，因此∠ACB=90°，很显然∠FCE＞90°，因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形．