Question

【题目】如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，点M，N分别在射线OA，OB上（都不与点O重合），且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN绕着点P转动，那么以下四个结论：①PM＝PN恒成立；②MN的长不变；③OM+ON的值不变；④四边形PMON的面积不变．其中正确的为_____．（填番号）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．

如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO＝∠PFO＝90°，

∴∠EPF+∠AOB＝180°，

∵∠MPN+∠AOB＝180°，

∴∠EPF＝∠MPN，

∴∠EPM＝∠FPN，

∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴PE＝PF，

在Rt△POE和Rt△POF中，

,

∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），

∴OE＝OF，

在△PEM和△PFN中，

,

∴△PEM≌△PFN（ASA），

∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，

∴S△PEM＝S△PNF，

∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，

∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故③正确，

∵M，N的位置变化，

∴MN的长度是变化的，故②错误，

故答案为：①③④．