Question

【题目】背景阅读：我们在教材24.3已经知道了直角三角形中锐角的三角函数的概念，类似地，我们在等腰三角形中建立边角之间的关系，即等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对，记作：sad．如图1，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作：sadA，这时sadA== ．

问题解决：

（1）若顶角A=60°，求sadA的值；

（2）若90°＜∠A＜180°，求∠A的正对sadA的取值范围；

合作交流：

（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若sinA=，试求以AC为腰的等腰三角形中，顶角A的正对sadA的值．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）＜sad∠BAC＜2；（3）.

【解析】分析：（1）先判断出△ABC是等边三角形，进而得出BC=AC，即可得出结论；

（2）先判断出＜sin∠BAD＜1，进而得出＜＜2，即可得出结论；

（3）先设出BC=3a，得出AB=5a，AC=4a，进而得出AE=AC=4a，再判断出△AEF∽△ABC，得出EF=a，AF=a，进而表示出CF=AC﹣AF=a，利用勾股定理得出CE=a即可得出结论．

详解：（1）∵等腰三角形的顶角A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∴sadA==1；

（2）如答图2，过点A作AD⊥BC于D．∵AB=AC，∴BC=2BD．∵90°＜∠BAC＜180°，∴45°＜∠BAD＜90°，∴＜sin∠BAD＜1．在Rt△ABD中，sin∠BAD=＜＜1，∴＜＜2，∴＜＜2，在等腰△ABC中，sad∠BAC=＜sad∠BAC＜2；

（3）如答图3．在Rt△ABC中，sinA==，设BC=3a，则AB=5a，根据勾股定理得：AC=4a，∴AE=AC=4a，过点E作EF⊥AC于F．∵∠ACB=90°，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴EF=a，AF=a，∴CF=AC﹣AF=a．在Rt△CEF中，CE==a，∴sadA===．