Question

【题目】如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．

（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；

②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，

∴点B与点E关于PQ对称，

∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，

又∵EF∥AB，

∴∠BPF=∠EFP，

∴∠EPF=∠EFP，

∴EP=EF，

∴BP=BF=EF=EP，

∴四边形BFEP为菱形

（2）

解：①∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，

∵点B与点E关于PQ对称，

∴CE=BC=5cm，

在Rt△CDE中，DE= =4cm，

∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm；

在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，

∴EP2=12+（3﹣EP）2，

解得：EP= cm，

∴菱形BFEP的边长为 cm；

②当点Q与点C重合时，如图2：

点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；

当点P与点A重合时，如图3所示：

点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，

∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm

【解析】（1）由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论；（2）①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由对称的性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD﹣DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP= cm即可；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．