Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图甲，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动，设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线的解析式：y=﹣x2+4x﹣3，

∴由y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，可知：顶点D的坐标（2，1）．

（2）

解：存在．

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

则 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=x﹣3，

设P（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），

∴PF=（﹣x2+4x﹣3）﹣（x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（m﹣ ）2+ ，

∴当x= 时，PE有最大值为 ．

∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为 ．

（3）

解：∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），

∴可求得直线AD的解析式为：y=x﹣1；

直线BC的解析式为：y=x﹣3．

∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．

∵AF∥y轴，

∴F（1，﹣2），

∴AF=2．

①当0≤t≤ 时，如答图1﹣1所示．

此时四边形AFF′A′为平行四边形．

设A′F′与x轴交于点K，则AK= AA′= t．

∴S=SAFF′A′=AFAK=2× t= t；

②当 ＜t≤2 时，如答图1﹣2所示．

设O′C′与AD交于点P，A′F′与BD交于点Q，

则四边形PC′F′A′为平行四边形，△A′DQ为等腰直角三角形．

∴S=SPC′F′A′﹣S△A′DQ=2×1﹣ （t﹣ ）2=﹣ t2+ t+1；

③当2 ＜t≤3 时，如答图1﹣所示．

设O′C′与BD交于点Q，则△BC′Q为等腰直角三角形．

∵BC=3 ，CC′=t，

∴BC′=3 ﹣t．

∴S=S△BC′Q= （3 ﹣t）2= t2﹣3 t+9．

∴综上所述，S与t的函数关系式为：

S=

【解析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的坐标．（2）先求得直线BC的解析式，设P（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），根据PF等于P点的纵坐标减去F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式，从而求得P的坐标和PF的最大值；（3）在运动过程中，分三种情形，需要分类讨论，避免漏解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的最值的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．