Question

【题目】在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．
（1）如图1，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）如图2，当EF⊥GH，AC=BD时，四边形EGFH的形状是；
（3）在（2）的条件下，若AC⊥BD（如图3），四边形EGFH的形状是 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：四边形EGFH是平行四边形．

证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O．

∴点O是ABCD的对称中心．

∴EO=FO，GO=HO．

∴四边形EGFH是平行四边形

（2）菱形
（3）正方形
【解析】解：（2）∵四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH，AC=BD

∴四边形EGFH是菱形；

所以答案是：菱形；

⑶四边形EGFH是正方形；理由如下

∵AC=BD，

∴ABCD是矩形；

又∵AC⊥BD，

∴ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；

∵EF⊥GH，

∴∠GOF=90°；

∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°

∴∠BOG=∠COF；

∴△BOG≌△COF（ASA）；

∴OG=OF，同理可得：EO=OH，

∴GH=EF；

由（2）知四边形EGFH是菱形，

又EF=GH，

∴四边形EGFH是正方形．

所以答案是：正方形．

【考点精析】通过灵活运用平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分即可以解答此题．