Question

【题目】如图，已知点A（0，2）、B（ ，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：
（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；
（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是 ．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）0或2
【解析】解：（1.）如图1：当AB为梯形的底时，PQ∥AB， ∴Q在CP上，
∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，
∴AC垂直平分PQ，
∵A（0，2），C（0，4），
∴AC=2，
∴PC=ACtan30°=2× = ，
∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是： ；
（2.）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，
∴Q在y轴上，
∴BP∥y轴，
∵CP∥x轴，
∴四边形ABPC是平行四边形，
∴CP=AB=2 ，
如图3，当C与P重合时，
∵A（0，2）、B（ ，2），
∴tan∠APB= = ，
∴∠APB=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=60°，
∴∠ACB=∠PAQ，
∴AQ∥BP，
∴当C与P重合时，四边形ABPQ以AB为腰的梯形，
此时点P的横坐标为0；
∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：0或2 ．
所以答案是：（1） ，（2）0或2 ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°，以及对梯形的定义的理解，了解一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形．