Question

【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°,DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF.

（1）求证：CF=EB.

（2）若AB=12，AF=8，求CF的长。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】试题分析：（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF=EB；
（2）设CF=x，则AE=12-x，再根据题意得出△ACD≌△AED，进而可得出结论．

试题解析：

（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
在△CDF与△EDB中，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB．
（2）解：设CF=x，则AE=12-x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在△ACD与△AED中，

∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，即8+x=12-x，
解得x=2，即CF=2．