Question

【题目】（1）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝40°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE所在直线交于点F，求∠BFC的度数；

（2）在（1）的基础上，若∠BAC每秒扩大10°，且在变化过程中∠ABC与∠ACB始终保持是锐角，经过t秒（0＜t＜14），在∠BFC，∠BAC这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求t的值；

（3）在（2）的基础上，∠ABD与∠ACE的角平分线交于点G，∠BGC是否为定值，如果是，请直接写出∠BGC的值，如果不是，请写出∠BGC是如何变化的．

Answer 1

【答案】（1）140°；（2）t＝2或8；（3）∠BGC是定值，为90°．

【解析】

（1）利用钝角的余角相等，证明∠CFD＝∠A即可解决问题．

（2）由题意∠A＝40°+10°×t，∠BFC＝180°﹣∠A＝140°﹣10°×t．分两种情形：①当0＜t＜5时，∠BFC＝2∠A．②当5＜t＜14时，∠A＝2∠BFC，分别构建方程求解即可．

（3）如图，结论∠BGC是定值．想办法证明∠G＝∠A+∠ABG+∠ACG，∠ABG+∠ACG＝∠ABD即可解决问题．

解：（1）∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，

∴∠AEC＝∠BDC＝90°，

∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CFD＝90°，

∴∠CFD＝∠A

∴∠BFC＝180°﹣∠DFC＝180°﹣∠A＝140°．

（2）由题意∠A＝40°+10°×t，∠BFC＝180°﹣∠A＝140°﹣10°×t．

①当0＜t＜5时，∠BFC＝2∠A，则有140﹣10t＝2（40+10t），

解得t＝2．

②当5＜t＜14时，∠A＝2∠BFC，

∴40+10t＝2（140﹣10t），

解得t＝8，

综上所述，当t＝2或8时，∠BFC，∠A两个角中，一个角是另一个角的两倍．

（3）如图，结论∠BGC是定值．

理由：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，

∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵BG平分∠ABD，CG平分∠ACB，

∠ABG＝∠ABD，∠ACG＝∠ACE，

∴∠ABG+∠ACG＝（∠ABD+∠ACE）＝∠ABD，

∵∠A+∠ABG+∠GBC+∠GCB+∠ACG＝180°，∠G+∠GBC+∠GCB＝180°，

∴∠G＝∠A+∠ABG+∠ACG＝∠A+∠ABD＝90°，

∴∠BGC是定值．