Question

【题目】如图l，在四边形ABCD中.∠DAB被对角线AC平分，且AC2=AB·AD，我们称该四边形为“可分四边形”∠DAB称为“可分角”.

（1）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，求证：△DAC∽△CAB.

（2）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB=∠DAB 则∠DAB = .

（3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC=4.BC=2.∠D=90°，则AD= .

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）120°；（3）

【解析】

（1）先判断出，即可得出结论；

（2）由已知条件可证得△ADC∽△ACB，得出D=∠4，再由已知条件和三角形内角和定理得出∠1+2∠1=180°，求出∠1=60°，即可得出∠DAB的度数；

（3）由已知得出AC2=ABAD，∠DAC=∠CAB，证出△ADC∽△ACB，得出∠D=∠ACB=90°，由勾股定理求出AB，即可得出AD的长．

解：（1）证明：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，

∴AC2=ABAD，

∴，

∵∠DAB为“可分角”，

∴∠CAD=∠BAC，

∴△DAC∽△CAB；

（2）解：如图所示：

∵AC平分∠DAB，

∴∠1=∠2，

∵AC2=ABAD，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D=∠4，

∵∠DCB=∠DAB，

∴∠DCB=∠3+∠4=2∠1，

∵∠1+∠D+∠3=∠1+∠4+∠3=180°，

∴∠1+2∠1=180°，

解得：∠1=60°，

∴∠DAB=120°；

故答案为：120；

（3）解：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，

∴AC2=ABAD，∠DAC=∠CAB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D=∠ACB=90°，

∴，

∴

故答案为：.