Question

【题目】如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD=BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BC⊥AE，∠BAE=45°，

∴∠CBA=∠CAB，

∴BC=CA，

在△BCE和△ACD中，

∴△BCE≌△ACD，

∴AD=BE．

（2）解：∵△BCE≌△ACD，

∴∠EBC=∠DAC，

∵∠BDP=∠ADC，

∴∠BPD=∠DCA=90°，

∵AB=AE，

∴AD平分∠BAE．

（3）解：AD⊥BE不发生变化．

如图2，

∵△BCE≌△ACD，

∴∠EBC=∠DAC，

∵∠BFP=∠ACF，

∴∠BPF=∠ACF=90°，

∴AD⊥BE．

【解析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE．（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．