Question

【题目】如图，AB是圆O的一条直径，弦CD垂直于AB，垂足为点G、E是劣弧BD上一点，点E处的切线与CD的延长线交于点P，连接AE，交CD于点F．

（1）求证：PE=PF

（2）已知AG=4，AF=5，EF=25，求圆O的直径．

Answer 1

【答案】（1）PE=PF；（2）圆O的直径为．

【解析】试题分析：（1）如图1，连接OE，根据切线的性质得出∠PEO=90°，求出∠PEF=∠PFE，根据等腰三角形的判定得出即可；

（2）如图2，连接BE，根据相似三角形的判定得出△AGF∽△AEB，得出比例式，代入求出即可．

试题解析：（1）证明：如图1，连接OE，

∵EP是⊙O的切线，

∴∠PEO=90°，

∴∠OEA+∠PEF=90°，

∵AB⊥CD，

∴∠AGF=90°，

∴∠A+∠AFG=90°，

∵OE=OA，

∴∠OEA=∠OAE，

∴∠PEF=∠AFG，

∵∠EFP=∠AFG，

∴∠PEF=∠PFE，

∴PE=PF；

（2）解：如图2，连接BE，

∵AB为直径，

∴∠AEB=90°，

∵∠AGF=90°，

∴∠AGF=∠AEB，

∵∠A=∠A，

∴△AGF∽△AEB，

∴，

∵AG=4，AF=5，EF=25，

∴，

∴AB=，

即圆O的直径为．