Question

【题目】如图①所示，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，E是直线AB上一点，过E作直线l∥BC，交直线CD于点F．将直线l向右平移，设平移距离BE为t（t≥0），直角梯形ABCD被直线l扫过的面积（图中阴影部分）为S，S关于t的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．

信息读取
（1）梯形上底的长AB=；
（2）直角梯形ABCD的面积=；
图象理解
（3）写出图②中射线NQ表示的实际意义；
（4）当2＜t＜4时，求S关于t的函数关系式；
问题解决
（5）当t为何值时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1：3．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）12
（3）

解：当平移距离BE大于等于4时，直角梯形ABCD被直线l扫过的面积恒为12

（4）

解：当2＜t＜4时，如图所示，

直角梯形ABCD被直线l扫过的面积S=S直角梯形ABCD﹣SRt△DOF

=12﹣ （4﹣t）×2（4﹣t）=﹣t2+8t﹣4

（5）

解：①当0＜t＜2时，有4t：（12﹣4t）=1：3，解得t= ．

②当2＜t＜4时，有（﹣t2+8t﹣4）：[12﹣（﹣t2+8t﹣4）]=3：1，

即t2﹣8t+13=0，

解得t=4﹣ ，t=4+ （舍去）．

当t= 或t=4﹣ 时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1：3

【解析】解：由题意得：（1）AB=2．（2）S梯形ABCD=12．
（1）根据图②可知，当0≤t≤2时，E在线段AB上运动（包括与A、B重合），在此期间E点运动了2，因此可求得AB的长为2．（2）根据图形可知：当2＜t＜4时，E在AB的延长线上，且F在D点左侧，此期间E点运动了2，因此下底长为2+2=4，根据t=2时，重合部分的面积为8可求出梯形的高为4，因此梯形的面积为 ×（2+4）×4=12．（3）当t＞4时，直线l与梯形没有交点，因此扫过的面积恒为梯形的面积12．（4）当2＜t＜4时，直线扫过梯形的部分是个五边形，如果设直线l与AD的交点为0，那么重合部分的面积可用梯形的面积减去三角形OFD的面积来求得．梯形的面积在（2）中已经求得．三角形OFD中，底边DF=4﹣t，而DF上的高，可用DF的长和∠BCD的正切值求出，由此可得出S，t的函数关系式．（5）本题要分情况讨论：①当0＜t＜2时，重合部分的平行四边形的面积：直角梯形AEFD的面积=1：3，据此可求出t的值．②当2＜t＜4时，重合部分的五边形的面积：三角形OFD的面积=3：1，由此可求出t的值．