Question

【题目】在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，

∵CF=AE，

∴DF=BE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四边形BFDE是矩形．

（2）证明：由（1）可知AB∥CD，

∴∠BAF=∠AFD，

∵AD=DF，

∴∠DAF=∠AFD，

∴∠BAF=∠DAF，

即AF平分∠BAD．

【解析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，由CF=AE，得到DF=BE，即四边形BFDE是平行四边形，由DE⊥AB，得到四边形BFDE是矩形．（2）由（1）可知AB∥CD，得到∠BAF=∠AFD，又有AD=DF，得到∠DAF=∠AFD，∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD．
【考点精析】解答此题的关键在于理解角平分线的性质定理的相关知识，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上，以及对平行四边形的性质的理解，了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．