Question

【题目】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，分别延长OB，OD到点E，F，使BE=DF，顺次连接A、E、C、F各点．
（1）求证：∠FAD=∠EAB．
（2）若∠ADC=130°，要使四边形AECF是正方形，求∠FAD的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴AD=AB，∠ADB=∠ABD，

∴∠ADF=∠ABE，

在△FAD与△EAB中，

∴△FAD≌△EAB（SAS），

∴∠FAD=∠EAB；

（2）解：∵四边形AECF对角线互相垂直平分，

∴只要∠EAF=90°即得四边形BFDE是正方形，

∵∠ADC=130°，

∴∠DAB=180°﹣130°=50°

∴∠FAD+∠EAB=40°，

∵∠FAD=∠EAB，

∴∠FAD= ×40°=20°．

【解析】（1）由题意易证∠ADF=∠ABE，又因为DF=EB，AD=AB，于是可△FAD≌△EAB，；（2）由已知可得四边形AECF对角线互相垂直平分，只要∠EAF=90°即得四边形AECF是正方形，由∠FAD=∠EAB，再证得∠DAB=50°，可得∠FAD+∠EAB=40°，于是∠FAD= ×40°=20°．
【考点精析】本题主要考查了菱形的性质和正方形的判定方法的相关知识点，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角才能正确解答此题．