Question

【题目】在正六边形ABCDEF中，N、M为边上的点，BM、AN相交于点P

（1）如图1，若点N在边BC上，点M在边DC上，BN=CM，求证：BPBM=BNBC；

（2）如图2，若N为边DC的中点，M在边ED上，AM∥BN，求 的值；

（3）如图3，若N、M分别为边BC、EF的中点，正六边形ABCDEF的边长为2，请直接写出AP的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠BCD=120°，

∵BN=CM，

∴△ABN≌△BCM，

∴∠ANB=∠BMC，

∵∠PBN=∠CBM，

∴△BPN∽△BCM，

∴ = ，

∴BPBM=BNBC；

（2）

解：延长BC，ED交于点H，延长BN交DH于点G，取BG的中点K，连接KC，

在正六边形ABCDEF中，∠BCD=∠CDE=120°，

∴∠HCD=∠CDH=60°，

∴∠H=60°，

∴DC=DH=CH，

∵DC=BC，

∴CH=BC，

∵BK=GK，

∴2KC=GH，KC∥DH，

∴∠GDN=∠KCN，

∵CN=DN，∠DNG=∠CNK，

∴△DNG≌△CNK，

∴KC=DG，

∴DG= DH= DE，

∵MG∥AB，AM∥BG，

∴四边形MABG是平行四边形，

∴MG=AB=ED，

∴ME=DG= DE，即 = ，

（3）

解：如图3，过N作NH⊥AB，交AB的延长线于H，

∵∠ABC=120°，

∴∠NBH=60°，

Rt△NBH中，∠BNH=30°，BN=1，

∴BH= BN= ，

∴NH= = ，

Rt△ANH中，AN= = = ，

连接FC，延长FC与AN交于G，设FC与BM交于K，

易证△ANB≌△GNC，

∴CG=AB=2，AN=NG= ，FC=2AB=4，

∴FG=FC+CG=6，

∵EF∥BC，

∴ ，

∴ ，

∵FK+KC=6，

∴FK= ，KC= ，KG= +2= ，

∵KG∥AB，

∴ ，

∴ = ，

设PG=7x，AP=3x，

由PG+AP=AG=2 得：7x+3x=2 ，

x= ，

∴AP=3x= ．

【解析】（1）先证明△ABN≌△BCM，得∠ANB=∠BMC，再证明△BPN∽△BCM，列比例式可得结论；（2）作辅助线，构建等边三角形的三角形的中位线CK，先证明△CDH是等边三角形得：∠HCD=∠CDH=∠H=60°，DC=DH=CH，由△DNG≌△CNK，得KC=DG，DG= DH= DE，利用四边形MABG是平行四边形，
得MG=AB=ED，所以ME=DG= DE，即 = ；（3）如图3，作辅助线，构建直角三角形和全等三角形，根据直角三角形30°的性质得：BH= ，NH= ，利用勾股定理求AN= ，证明△ANB≌△GNC，利用EF∥BC和KG∥AB，列比例式可得： = ，设PG=7x，AP=3x，根据PG+AP=AG=2 得：7x+3x=2 ，可得结论．
【考点精析】利用相似三角形的应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．