Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y= x2经过点A（x1 ， y1）、C（x2 ， y2），其中x1、x2是方程x2﹣2x﹣8的两根，且x1＜x2 ， 过点A的直线l与抛物线只有一个公共点

（1）求A、C两点的坐标；
（2）求直线l的解析式；
（3）如图2，点B是线段AC上的动点，若过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，过点E作DC的平行线EF与直线AC相交于点F，求BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣8的两根，且x1＜x2，

∴x1=﹣2，x2=4，

∴A（﹣2，2），C（4，8）；

（2）

解：设直线l的解析式为y=kx+b，

∵A（﹣2，2）在直线l上，

∴2=﹣2k+b，

∴b=2k+2，

∴直线l的解析式为y=kx+2k+2①，

∵抛物线y= x2②，

联立①②化简得，x2﹣2kx﹣4k﹣4=0，

∵直线l与抛物线只有一个公共点，

∴△=（2k）2﹣4（﹣4k﹣4）=4k2+16k+16=4（k2+4k+4）=4（k+2）2=0，

∴k=﹣2，

∴b=2k+2=﹣2，

∴直线l的解析式为y=﹣2x﹣2；

（3）

解：由（1）知，A（﹣2，2），C（4，8），

∴直线AC的解析式为y=x+4，

设点B（m，m+4），

∵（4.8），

∴BC= |m﹣4|= （4﹣m）

∵过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，

∴D（m， m2），E（m，﹣2m﹣2），

∴BD=m+4﹣ m2，BE=m+4﹣（﹣2m﹣2）=3m+6，

∵DC∥EF，

∴△BDC∽△BEF，

∴ ，

∴ ，

∴BF=6 ．

【解析】（1）解一元二次方程即可得出点A，C坐标；（2）先设出直线l的解析式，再联立抛物线解析式，用△=0，求出k的值，即可得出直线l的解析式；（3）设出点B的坐标，进而求出BC，再表示出点D，E的坐标，进而得出BD，BE，再判断出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF．