Question

【题目】如图四边形ABCD ， AD∥BC ， AB⊥BC ， AD=1，AB=2，BC=3，P为AB边上的一动点，以PD ， PC为边作平行四边形PCQD ， 则对角线PQ的长的最小值是（　　）
A.3
B.4
C.5
D.6

Answer 1

【答案】B
【解析】解答：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O ， 则O是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC ， 交BC的延长线于H ，

∵AD∥BC ，
∴∠ADC=∠DCH ， 即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH ，
∵PD∥CQ ，
∴∠PDC=∠DCQ ，
∴∠ADP=∠QCH ，
又∵PD=CQ ，
在Rt△ADP与Rt△HCQ中，
∠ADP＝∠QCH
∠A＝∠QHC
PD＝CQ
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS），
∴AD=HC ，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4 ．
故选B.
分析：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G ， 可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC ， 交BC的延长线于H ， 易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ ， 即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4；
【考点精析】掌握梯形的中位线是解答本题的根本，需要知道梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半．