Question

【题目】如图,已知A(-4,0)、B(0,2)、C(6,0),直线AB与直线CD相交于点D,D点的横纵坐标相同；

(1)求点D的坐标；

(2)点P从O出发,以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴匀速运动,过点P作x轴的垂线分别与直线AB、CD交于E、F两点,设点P的运动时间为t秒,线段EF的长为y(y>0),求y与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围；

(3)在(2)的条件下,直线CD上是否存在点Q,使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出符合条件的Q点坐标,若不存在,请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）D（4，4）；（2）y，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4；（3）存在，其坐标为（，）或（14，-16），见解析.

【解析】

（1）根据条件可求得直线AB的解析式，可设D为（a，a），代入可求得D点坐标；

（2）分0≤t＜4、4＜t≤6和t＞6三种情况分别讨论，利用平行线分线段成比例用t表示出PE、PF，可得到y与t的函数关系式；

（3）分0＜t＜4和t＞4，两种情况，过Q作x轴的垂线，证明三角形全等，用t表示出Q点的坐标，代入直线CD，可求得t的值，可得出Q点的坐标．

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，

将A（-4，0）、B（0，2）两点代入，

解得，k＝ ，b=2，

∴直线AB解析式为y＝x+2，

∵D点横纵坐标相同，设D（a，a），

∴a＝a+2，

∴D（4，4）；

（2）设直线CD解析式为y=mx+n，

把C、D两点坐标代入，解得m=-2，n=12，

∴直线CD的解析式为y=-2x+12，

∴AB⊥CD，

当0≤t＜4时，如图1，

设直线CD于y轴交于点G，则OG=12，OA=4，OC=6，OB=2，OP=t，

∴PC=6-t，AP=4+t，

∵PF∥OG，

,

,

,

,

当4＜t≤6时，如图2，

同理可求得PE=2+ ，PF=12-2t，

此时y=PE-PF= t+2(2t+12)＝t10，

当t＞6时，如图3

同理可求得PE=2+，PF=2t-12，

此时y=PE+PF=t-10；

综上可知y，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4；

（3）存在．

当0＜t＜4时，过点Q作QM⊥x轴于点M，如图4，

∵∠BPQ=90°，

∴∠BPO+∠QPM=∠OBP+∠BPO=90°，

∴∠OPB=∠QPM，

在△BOP和△PMQ中，

∴△BOP≌△PMQ（AAS），

∴BO=PM=2，OP=QM=t，

∴Q（2+t，t），

又Q在直线CD上，

∴t=-2（t+2）+12，

∴t= ，

∴Q（，）；

当t＞4时，过点Q作QN⊥x轴于点N，如图5，

同理可证明△BOP≌△PNQ，

∴BO=PN=2，OP=QN=t，

∴Q（t-2，-t），

又∵Q在直线CD上，

∴-t=-2（t-2）+12，

∴t=16，

∴Q（14，-16），

综上可知，存在符合条件的Q点，其坐标为（，）或（14，-16）．