Question

【题目】如图，矩形AEFG的顶点E，G分别在正方形ABCD的AB，AD边上，连接B，交EF于点M，交FG于点N，设AE=a，AG=b，AB=c（b＜a＜c）．

（1）求证： = ；
（2）求△AMN的面积（用a，b，c的代数式表示）；
（3）当∠MAN=45°时，求证：c2=2ab．

Answer 1

【答案】
（1）证明：过点N作NH⊥AB于点H，过点M作MI⊥AD于点I，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB=∠ABD=45°，

∴△NHB和△DIM是等腰直角三角形，四边形AGNH和四边形AEMI是矩形，

∴BN= NH= AG= b，DM= MI= AE= a，

∴ =

（2）解：S△AMN=S△ABD﹣S△ABM﹣S△ADN

= ABAD﹣ ABME﹣ ADNG

= c2﹣ c（c﹣a）﹣ c（c﹣b）

= c（c﹣c+a﹣c+b）

= c（a+b﹣c）

（3）解：∵∠DMA=∠ABD+∠MAB=∠MAB+45°，∠BAN=∠MAB+∠MAN=∠MAB+45°，

∴∠DMA=∠BAN，

∵∠ABD=∠ADB=45°，

∴△ADM∽△NBA，

∴ = ，

∵DM= a，BN= b，

∴c2=2ab．

【解析】（1）作NH⊥AB垂足为H，作MI⊥AD垂足为I，依据题意可得到△NHB和△DIM是等腰直角三角形，四边形AGNH和四边形AEMI是矩形，则可求得BN=b，DM=a，最后，代入计算即可；
（2）依据图形可知S△AMN=S△ABD-S△ABM-S△ADN，故此可得到S△AMN=c2-c（c-a）-c（c-b），最后进行整理即可；
（3）首先证明∠DMA=∠BAN，然后再由∠ABD=∠ADB=45°可得到△ADM∽△NBA，最后，依据相似三角形的性质列出比例式求解即可.
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．