Question

【题目】如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）如图甲，将△ADE绕点A 旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是 .

① ② ③ ④

（2）若AB=4，AD=2，把△ADE绕点A旋转，

①当∠EAC=90°时，求PB的长；

②求旋转过程中线段PB长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①②③；

（2）PB的长为或；

（3）PB长的最大值是．

【解析】分析：（1）①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°而得出结论；③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出结论；④△BDE为直角三角形就可以得出BE=BD+DE，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE=2AD，BC=2AB，就有BC=BD+CD2≠BD就可以得出结论．（2）①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB-AE=1．由△PEB∽△AEC，得 ，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．解法类似．②如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在 A上方与 A相切时，PB的值最大．求出PB即可．

本题解析：（1）①②③

（2）①解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=2．

∵∠EAC=90°，∴CE=，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．

∴，∴,∴PB=,

b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=6．

∵∠EAC=90°，∴CE=，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC，

∴，∴，∴PB=，

综上，PB=或．

②解：如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）

∵AE⊥EC，∴EC=，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=2 ，∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四边形AEPD是矩形，∴PD=AE=2，∴PB=BD+PD=2+2．

综上所述，PB长的最大值是2+2．