Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知直线y= x﹣ 分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，

可得a+2﹣3=0，解得a=1，

∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，

令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，

∴A点坐标为（﹣3，0）．

（2）

解：若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，

如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，

由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，

在△BPO和△B′PO中

，

∴△BPO≌△B′PO（ASA），

∴BO=B′O=1，

设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得

，解得 ，

∴直线AP解析式为y= x+1，

联立 ，解得 ，

∴P点坐标为（ ， ）；

若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，

∴∠BPO=∠B′PO，

又∠B′PO在∠APO的内部，

∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，

综上可知P点坐标为（ ， ）．

（3）

解：如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，

∵CF为y= x﹣ ，

∴可求得C（ ，0），F（0，﹣ ），

∴tan∠OFC= = ，

∵DQ∥y轴，

∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，

∴tan∠HDQ= ，

不妨设DQ=t，DH= t，HQ= t，

∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，

∴若DQ=DE，则S△DEQ= DEHQ= × t×t= t2，

若DQ=QE，则S△DEQ= DEHQ= ×2DHHQ= × t× t= t2，

∵ t2＜ t2，

∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．

设Q点坐标为（x，x2+2x﹣3），则D（x， x﹣ ），

∵Q点在直线CF的下方，

∴DQ=t= x﹣ ﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣ x+ ，

当x=﹣ 时，tmax=3，

∴（S△DEQ）max= t2= ，

即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为

【解析】（1）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，可求得抛物线解析式，再令y=0，可解得相应方程的根，可求得A点坐标；
　　　　（2）当点P在x轴上方时，连接AP交y轴于点B′，可证△OBP≌△OB′P，可求得B′坐标，利用待定系数法可求得直线AP的解析式，联立直线y=x，可求得P点坐标；当点P在x轴下方时，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，可知此时没有满足条件的点P；
　　　　（3）过Q作QH⊥DE于点H，由直线CF的解析式可求得点C、F的坐标，结合条件可求得tan∠QDH，可分别用DQ表示出QH和DH的长，分DQ=DE和DQ=QE两种情况，分别用DQ的长表示出△QDE的面积，再设出点Q的坐标，利用二次函数的性质可求得△QDE的面积的最大值． 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等．在（2）中确定出直线AP的解析式是解题的关键，在（3）中利用DQ表示出△QDE的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．