【题目】如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.

发现 AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值l，求l；

思考 点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为________.

探究 当半圆M与AB相切时，求AP（弧）的长.

（注：结果保留π，cos 35°=，cos 55°=）

参考答案：

【答案】（1）；（2），2，，；（3）弧AP的长为.

【解析】

试题分析：发现：连结OP，OQ，可得OP=OQ=PQ=2，即可得OP=OQ=PQ=2，根据弧长公式求得弧BC的长度，用半圆的弧长减去弧BC的长即可求得l的长；思考：当OM⊥AB时， 点M与AB的最大距离就是OM，△AOP是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理即可得OM和PA的长，当Q与B重合点，点M与AB的距离最小，利用三角形的三边关系即可求得答案；探究：半圆M与AB相切，分两种情况①半圆M与AO切于点T时和②半圆M与BO切于点S时，分别求得弧AP的长即可.

试题解析：发现：连结OP，OQ，则OP=OQ=PQ=2.

∴∠POQ=60°，∴弧BC的长=.

∴.

思考：，2，，.

探究：半圆M与AB相切，分两种情况：

①如图1，半圆M与AO切于点T时，连结PO,MO,TM.

则MT⊥AO，OM⊥PQ，

在Rt△POM中，sin∠POM=，

∴∠POM=30°，

在Rt△TOM中，TO=，

∴cos∠AOM=，即∠AOM=35°，

∴∠POA=35°-30°=5°.

∴弧AP的长=.

②如图2，半圆M与BO切于点S时，连结PO,MO,SM..

根据圆的对称性，同理得弧BQ的长为，

由得弧AP的长为.

综上，弧AP的长为.

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