Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A（0，a）、B（b，0）且a＞|b|．
（1）若a、b满足a2+b2﹣4a﹣2b+5=0．
①求a、b的值；
②如图1，在①的条件下，将点B在x轴上平移，且b满足：0＜b＜2；在第一象限内以AB为斜边作等腰Rt△ABC，请用b表示S四边形AOBC ， 并写出解答过程．
（2）若将线段AB沿x轴向正方向移动a个单位得到线段DE（D对应A，E对应B）连接DO，作EF⊥DO于F，连接AF、BF．
①如图2，判断AF与BF的关系并说明理由；
②若BF=OA﹣OB，求∠OAF的度数（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】解：（1）①∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，
∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，
∴a=2，b=1，
②∵A（0，2），B（b，0），
∴AB=，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴S四边形AOBC=S△AOB+S△ABC=AOBO+BC2=b2+b+1，（0＜b＜2）．
（2）①结论：FA=FB，FA⊥FB，理由如下：
如图，

作FG⊥y轴，FH⊥x轴垂足分别为G、H．
∵A（0，a）向右平移a个单位到D，
∴点D坐标为（a，a），点E坐标为（a+b，0），
∴∠DOE=45°，
∵EF⊥OD，
∴∠OFE=90°∠FOE=∠FEO=45°，
∴FO=EF，
∴FH=OH=HE=（a+b），
∴点F坐标（，），
∴FG=FH，四边形FHOG是正方形，
∴OG=FH=，∠GFH=90°，
∴AG=AO﹣OG=a﹣=，BH=OH﹣OB=-b=，
∴AG=BH，
在△FGA和△FHB中，
，
∴△FGA≌△FHB，
∴FA=FB，∠AFG=∠BFH，
∴∠AFB=∠GFH=90°．
AF⊥BF，AF=BF．
②∵△FGA≌△FHB，
∴∠FBH=∠OAF，
在RT△BFH中，∵BF=OA﹣OB=a﹣b，BH=，
∴cos∠FBH=，
∴∠FBH=60°，
∴∠OAF=60°．
故答案为60°．
【解析】（1）①化简得（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，根据非负数的性质即可求出a、b．②利用S四边形AOBC=S△AOB+S△ABC即可解决．
（2）①结论：AF=FB，AF⊥FB，作FG⊥y轴，FH⊥x轴垂足分别为G、H．，先证明四边形FHOG是正方形，然后证明△FGA≌△FHB得FA=FB，∠AFG=∠BFH所以∠AFB=∠GFH=90°．从而得证．
②由△FGA≌△FHB得∠FBH=∠OAF，在RT△FBH中，求出cos∠FBH=的值即可解决．