Question

【题目】如图，已知A(1，5)，直线l1：y=x，直线l2过原点且与x轴正半轴成60°夹角，在l1上有一动点M，在l2上有一动点N，连接AM、MN，则AM+MN的最小值为_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据“AAS”可证△AOC≌BOD，利用全等三角形对应边相等可得OD=OC=5，BD=AC=1，作NE⊥x轴，BF⊥NE，可得∠BNF=60°，设BN=2x，则NF=x，BF=， 可得OE=OD-DE=5-， NE =NF+EF=x+1，利用tan∠NOE==，解出x的值即可.

解：如图，做点A关于l1的对称点B，过BN⊥l2，交l1于一点即为M，此时，线段BN的长即为AM+MN的最小值，

∴AO=BO，

作AC⊥y轴，BD⊥x轴，

易证△AOC≌BOD(AAS)，

∵A(1,5)

∴B(5,1)

∴OD=5，BD=1,

作NE⊥x轴，BF⊥NE，

∵直线L2与x轴夹角为60°，

∴∠BNF=60°，

设BN=2x，则NF=x，BF=

∴OE=OD-DE=5-， NE =NF+EF=x+1,

tan∠NOE===tan60°=,

解得x=,

∴BN=2x=.

即得AM+MN的最小值为.

故答案为：.