Question

【题目】【问题提出】如图1，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．

【尝试解决】

旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．

（1）如图2，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是 ．

（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．

[类比应用]如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=，求四边形ABCD的面积．

考点：几何变换综合题．

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析:（1）易证△DEB≌△DAB′，则BD=DB′，∠BDB′=60°，所以△BDB′是等边三角形；

（2）知等边三角形的边长为3，求出S△BDB′即可；

【类比应用】类比（1），连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；易证△AFB′是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE=B′E=1，BB′=，求△ABB′和△BDB′的面积和即可．

解：（1）如图2，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，

∵BD=B′D，∠BDB′=60°

∴△BDB′是等边三角形；

（2）由（1）知，△BCD≌△B′AD，

∴四边形ABCD的面积=等边三角形BDB′的面积，

∵BC=AB′=1

∴BB′=AB+AB′=2+1=3，

∴S四边形ABCD=S△BDB′==；

【类比应用】如图3，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DAB′，

连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；

∵，

∴△BCD≌△B′AD

∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A，

∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，

∴∠BAB′=135°

∴∠B′AE=45°，

∵B′A=BC=，

∴B′E=AE=1，

∴BE=AB+AE=2+1=3，

∴BB′=，

∴S△ABB′=ABB′E=×2×1=1，

S△BDB′==，

∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A=S△BDB′﹣S△ABB′=﹣1．