Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点B做射线BB1∥AC，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，连接DF，设运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）当t为时，AD=AB，此时DE的长度为；
（2）当△DEF与△ACB全等时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞ 时，设△ADA′的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式；
③当线段A′C′与射线BB1有公共点时，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）2,2
（2）解：∵∠ACB=90°，BB1∥AC，EF⊥AC，

∴四边形BCEF是矩形，EF=BC=8，

当AD＜AE时，5t＜6+3t，

∴0＜t＜3，

若DE=AC，△ACB≌△DEF，DE=AE﹣AD=6+3t﹣5t=6﹣2t，

∴6﹣2t=6，

∴t=0，

∵t＞0（不合题意，舍），

当AD＞AE时，5t＞6+3t，

∴t＞3，

若DE=AC，△ACB≌△DEF，DE=AD﹣AE=5t﹣6﹣3t=2t﹣6，

∴2t﹣6=6，

∴t=6，

∴当t=6时，△DEF与△ACB全等．

（3）解：①如图，

∵∠ACB=∠AHD，∠BAC=∠DAH，

∴△ABC∽△ADH，

∴ ，

∴ ，

∴AH=3t，DH=4t，

∴S△ADA'=2S△ADH=2× AH×DH=AH×DH=12t2，

②当点A'落在射线BB1上的点B时，AA'=AB=10，

∵DH⊥AB，

∴AA'=2AH=2×5t×cos∠A=6t=10，

∴t= ，

当点C'落在射线BB1上时，CC'∥AB，

∵BB1∥AC，

∴四边形ACC'B为平行四边形，

∴CC'=AB=10，

∵CC'=2CD×cos∠A=2×（5t﹣6）× = （5t﹣6），

∴t= ，

∴ ≤t≤ ，线段A'C'与射线BB1有公共点．

【解析】解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得，AB= =10，

由运动知，AD=5t，

∵AD=AB，

∴5t=10，

∴t=2，

∴CD=AD﹣AC=10﹣6=4，CE=3t=6，

∴DE=CE﹣CD=2，

所以答案是2，2；

【考点精析】认真审题，首先需要了解平行四边形的判定(两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形)，还要掌握轴对称的性质(关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上)的相关知识才是答题的关键．