Question

【题目】先尺规作图，后进行计算：如图，△ABC中，∠A＝105°．

（1）试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到∠ABC两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（2）在（1）的条件下，若∠ACP＝30°，则∠PBC的度数为　 　°．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）15.

【解析】

（1）作BC的垂直平分线和∠ABC的平分线，它们的交点为P点；

（2）设∠PBC＝x，利用角平分线的定义得到∠ABC＝2∠PBC＝2x，利用线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，则∠PCB＝∠PBC＝x，然后根据三角形内角和定理可计算出x的值．

解：（1）如图，点P为所作；

（2）设∠PBC＝x，

∵PB平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠PBC＝2x，

∵PB＝PC，

∴∠PCB＝∠PBC＝x，

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，

∴2x+x+30°+105°＝180°，解得x＝15°．

即∠PBC的度数为15°．

故答案为15．