Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD交于点G．

（1）求证：AP＝DG；

（2）求线段AP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AP＝4.8.

【解析】

（1）由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，即可得出结论；

（2）由（1）可得：DG=EP，DP=EG，设AP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8．

根据题意得：△ABP≌△EBP，

∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8．

在△ODP和△OEG中，∵，

∴△ODP≌△OEG（ASA），

∴OP=OG，PD=GE，

∴DG=EP，∴AP=DG；

（2）如图所示．

由（1）可得：DG=EP，DP=EG．

设AP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，

∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x．

根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，

即62+（8﹣x）2=（x+2）2，

解得：x=4.8，

∴AP=4.8．