Question

【题目】学习概念：

三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中∠ACD是△AOC的外角，那么∠ACD与∠A、∠O之间有什么关系呢？

∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO

∴∠ACD＝∠A+　 　，

结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的　 　．

问题探究：

(1)如图2，已知：∠AOB＝∠ACP＝∠BDP＝60°，且AO＝BO，则△AOC　 　△OBD；

(2)如图3，已知∠ACP＝∠BDP＝45°，且AO＝BO，当∠AOB＝　 　°，△AOC≌△OBD；

应用结论：

(3)如图4，∠AOB＝90°，OA＝OB，AC⊥OP，BD⊥OP，请说明：AC＝CD+BD．

拓展应用：

(4)如图5，四边形ABCD，AB＝BC，BD平分∠ADC，AE∥CD，∠ABC+∠AEB＝180°，EB＝5，求CD的长．

Answer 1

【答案】∠O，和；(1)≌；(2)45°；(3)见解析；(4)CD＝5．

【解析】

学习概念：∠ACD＝∠A+∠O，理由是等量代换，所以得到结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.问题探究：（1）由邻补角互补可知∠ACO＝∠ODB＝120°，由外角性质可知∠AOC+∠OAC＝∠ACP＝60°，等量代换得∠OAC＝∠BOD，进而可证三角形△AOC和△OBD全等.（2）当∠AOB＝45°时，△AOC≌△OBD，证法同（1）.（3）先证明△AOC≌△OBD，可得OC＝BD，AC＝OD，进而可证AC＝CD+BD．

（4）在DB上取一点F使CF＝CD，由BD平分∠ADC，AE∥CD，可得∠AED＝∠CFD，再利用等量代换，可得∠BAE＝∠CBF，然后可证△ABE≌△BCF，进而可得CD=BE=5.

解：

学习概念：

∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO

∴∠ACD＝180°﹣(180°﹣∠A﹣∠O)＝∠A+∠O，

即：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，

故答案为：∠O，和.

问题探究：(1)∵∠ACP＝∠BDP＝60°，

∴∠ACO＝∠ODB＝120°，∠AOC+∠OAC＝∠ACP＝60°，

∵∠AOB＝∠AOC+∠BOD＝60°，

∴∠OAC＝∠BOD，

在△AOC和△OBD中，

，

∴△AOC≌△OBD(AAS)，

故答案为：≌.

(2)当∠AOB＝45°时，△AOC≌△OBD，理由如下，

同（1）∵∠ACP＝∠BDP＝45°，

∴∠ACO＝∠ODB＝135°，∠AOC+∠OAC＝∠ACP＝45°，

∵∠AOB＝∠AOC+∠BOD＝45°，

∴∠OAC＝∠BOD，

在△AOC和△OBD中，

，

∴△AOC≌△OBD(AAS)，

故当∠AOB＝45°时，△AOC≌△OBD.

(3)∵AC⊥OP，BD⊥OP，

∴∠ACO＝∠ODB＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∵∠AOB＝90°，

∴∠2+∠3＝90°，

∴∠1＝∠2，

∴△AOC≌△OBD，

∴OC＝BD，AC＝OD，

∴AC＝OD＝OC+CD＝BD+CD,

(4)如图5，在DB上取一点F使CF＝CD，

∴∠CFD＝∠CDF，

∵BD平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDB，

∴∠CFD＝∠CDF＝∠ADB，

∵AE∥CD，

∴∠BDC＝∠AED，

∴∠AED＝∠CFD，

∵∠AEB+∠AFD＝180°，∠AEB+∠ABC＝180°，

∴∠AED＝∠ABC，

∴∠AEB＝∠BFC，

∵∠AED＝∠ABE+∠BAE，∠ABC＝∠ABE+∠CBF，

∴∠BAE＝∠CBF，

∵AB＝BC，

∴△ABE≌△BCF，

∴CF＝BE，

∴CD＝CF＝BE =5．