Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（　　）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据角平分线性质求出CD=DE，根据等腰三角形的判定得出BE=DE，求出CD=DE=BE，根据勾股定理和CD=DE求出AC=AE，求出AC=AE=BC，再逐个判断即可．

解：∵DE⊥AB，
∴∠DEA=∠DEB=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠C=90°，∠CDA+∠C+∠CAD=180°，∠DEA+∠BAD+∠EDA=180°，
∴∠CDA=∠EDA，∴①正确；
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°，
∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°，
∵∠CDA=∠EDA，
∴∠CDA=∠EDA==67.5°≠45°，
∴∠EDA≠∠BDE，
∴DE不平分∠BDA，∴②错误；
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由勾股定理得：AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=AC=BC，
∵∠B=∠BDE=45°，
∴BE=DE=CD，
∴AE-BE=BC-CD=BD，∴③正确；
△BDE周长是BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm，∴④正确；
即正确的个数是3，
故选：B．