Question

【题目】直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．

（1）在图1中，若∠BCE=40°，求∠ACF的度数；

（2）在图1中，若∠BCE=α，直接写出∠ACF的度数（用含α的式子表示）；

（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，探究：写出∠ACF与∠BCE的度数之间的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠ACF=20°；（2）∠ACF=α；（3）∠ACF=∠BCE．理由见解析.

【解析】试题分析：（1）由∠ACB=90°，∠BCE=40°，可得∠ACD，∠BCD的度数，再根据CF平分∠BCD，可得∠DCF的度数，继而可求得∠ACF=∠DCF﹣∠ACD=20°；

（2）由∠ACB=90°，∠BCE=α°，可得∠ACD=90°﹣α，∠BCD=180°﹣α，再根据CF平分∠BCD，从而可得∠DCF=90°﹣α，继而可得∠ACF=α；

（3）由点C在DE上，可得∠BCD=180°﹣∠BCE，再根据CF平分∠BCD，可得∠BCF=90°-∠BCE，再根据∠ACB=90°，从而有∠ACF=∠BCE．

试题解析：（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠BCE=40°，

∴∠ACD=180°﹣90°﹣40°=50°，∠BCD=180°﹣40°=140°，

又CF平分∠BCD，

∴∠DCF=∠BCF=∠BCD=70°，

∴∠ACF=∠DCF﹣∠ACD=70°﹣50°=20°；

（2）如图1，∵∠ACB=90°，∠BCE=α°，

∴∠ACD=180°﹣90°﹣α°=90°﹣α，∠BCD=180°﹣α，

又CF平分∠BCD，

∴∠DCF=∠BCF=∠BCD=90°﹣α，

∴∠ACF=90°﹣α﹣90°+α=α；

（3）∠ACF=∠BCE．理由如下：

如图2，∵点C在DE上，

∴∠BCD=180°﹣∠BCE．

∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=∠BCD=（180°﹣∠BCE）=90°-∠BCE．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACF=∠ACB﹣∠BCF=90°﹣（90°-∠BCE）=∠BCE．

即：∠ACF=∠BCE．