Question

【题目】如图四边形，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点停止运动，设运动时间为（秒）．

（1）当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，求出值；若不存在，请说明理由；

（2）当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于；

（3）当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝3；（2）t＝；（3）t＝3或t＝．

【解析】

（1）当DQ＝CP时，四边形PQDC是平行四边形，根据CP＝153t，DQ＝122t建立方程求解即可；

（2）分两种情况讨论：①当点P是从点B向点C运动时，②当点P从点C返回点B时，分别利用梯形面积公式构建方程，求出时间t，再舍去不合题意的值即可；

（3）分三种情况讨论：①当PQ＝PD时，②当PQ＝DQ时，③当DQ＝PD时，分别利用等腰三角形的性质及勾股定理列方程解答即可．

解：（1）∵AD∥BC

∴当DQ＝CP时，四边形PQDC是平行四边形，

当0＜t＜5时，点P从B运动到C，

∵DQ＝ADAQ＝122t，CP＝153t，

∴122t＝153t，

解得：t＝3，

∴t＝3时，四边形PQDC是平行四边形；

（2）分两种情况讨论：

①当点P是从点B向点C运动时，

∵CP＝153t，DQ＝122t，以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于30cm2，

∴S四边形CDQP＝ (DQ＋CP)AB＝30，即× (122t＋153t)×10＝30，

解得：t＝；

②当点P从点C返回点B时，

由运动知，DQ＝122t，CP＝3t15，

∴S四边形CDQP＝ (DQ＋CP)AB＝30，即 (122t＋3t15)×10＝30，

解得：t＝9，

∵点Q到达点D的时间为12÷2＝6，

∴t＝9舍去，

∴当t为秒时，以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于30cm2；

（3）分三种情况讨论：

作PH⊥AD于H，

①当PQ＝PD时，则HQ＝HD，

∵QH＝HD＝DQ＝（122t）＝6t，

由AH＝BP，得：6t＋2t＝3t，

解得：t＝3；

②当PQ＝DQ时，

∵QH＝AHAQ＝BPAQ＝3t2t＝t，DQ＝122t，

∴PQ2＝QH2＋PH2＝t2＋102，

∵DQ2＝PQ2，

∴（122t）2＝t2＋102，

解得：t＝，

∵0＜t＜5，

∴t＝；

③当DQ＝PD时，

∵DH＝ADAH＝ADBP＝123t，DQ＝122t，

∴PD2＝PH2＋HD2＝102＋（123t）2，

∵DQ2＝PD2，

∴（122t）2＝102＋（123t）2，

整理得：5t224t＋100＝0，

∵△＜0，

∴方程无实根，即此情况不存在，

综上可知，当t＝3秒或t＝秒时，△PQD是等腰三角形．