Question

【题目】如图，是的角平分线，点，分别在，上，且，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，求平行四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）由BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，易证得BE＝DE，又由BE＝AF，可得DE＝AF，即可证得四边形ADEF是平行四边形；

（2）首先过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥BD于H，由∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，可求得DG的长，然后根据勾股定理求得BE的长，则可求得答案．

（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD＝∠DBE，

∵DE∥AB，

∴∠ABD＝∠BDE，

∴∠DBE＝∠BDE，

∴BE＝DE，

∵BE＝AF，

∴AF＝DE，

∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）解：过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥BD于H，

∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠EBD＝30°，

∴DG＝BD＝，

∵BE＝DE，

∴BH＝DH＝，

设EH＝x，则BE＝2x，

∴，

∴（舍去负值），

∴DE＝BE＝2x＝4，

∴平行四边形ADEF的面积＝DEDG＝4×．