Question

【题目】如图1，直线AD对应的函数关系式为y=﹣2x﹣2，与抛物线交于点A（在x轴上），点D．抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，连结CD，过点D作x轴的垂线，垂足为点E，直线AD与y轴交点为F，若点P由点D出发以每秒1个单位的速度沿DE边向点E移动，1秒后点Q也由点D出发以每秒3个单位的速度沿DC，CO，OE边向点E移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒，当PQ⊥DF时，求t的值；（图3为备用图）

（3）如果点M是直线BC上的动点，是否存在一个点M，使△ABM中有一个角为45°？如果存在，直接写出所有满足条件的M点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x2﹣4x﹣6（2）当t=2时，有PQ⊥DF（3）点M（7，8），（，），（ ， ），（ ， ）

【解析】试题分析：（1）求出点A坐标，把A、B、C三点代入抛物线解析式解方程组即可．

（2）分三种情形讨论①当Q点在CD上时②点Q在CO上时③点Q在OE上时，利用相似三角形的性质路程方程求出t，并且判断是否符合题意即可．

（3）分三种情况：①当∠MAB=45°且M在x轴上方时，则直线过A和P(0， 1)，求出直线AP的解析式和直线AP与直线BC的交点即可；

②当∠MAB=45°且M在x轴下方时，则直线过A和Q(0，－1)，类似可求M的坐标；

③若∠AMB=45°，过A作AP⊥BC于P，则△APM是等腰直角三角形，得到AP=PM．求出直线AP的解析式，然后求出直线AP和直线CB的交点P的坐标，由MP=AP，用两点间的距离公式，列方程求解即可．

试题解析：解：（1）令y=0，则﹣2x﹣2=0，解得：x=﹣1，所以点A坐标（﹣1，0），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c．∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣6）在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣6．

（2）y=2x﹣2，令x=0，y=﹣2，∴F（0，﹣2），由解得或，∴点D坐标（2，﹣6）．∵点C（0，﹣6），∴CD⊥CF，∴∠DCF=90°，由题意：P点移动的路程为DP=t，Q点移动的路程为3（t﹣1）=3t﹣3，当Q点在CD上时，即0＜3t﹣3≤2时，1＜t≤时，如图1中，若PQ⊥DF，则有Rt△QDP∽Rt△FCD，

∴=，即=，∴t=3，3＞，∴此时t不合题意．

当点Q在CO上时，2＜3t﹣3≤8，＜t≤时，如图2中，过点P作PK⊥OC于K，

∴CK=PD=t，CQ=3（t﹣1）﹣2=3t﹣5，若PQ⊥DF，则有Rt△PKQ∽Rt△FCD，∴，即=，∴t=2．∵＜t≤，∴t=2符合题意．

当点Q在OE上时，即8≤3t﹣3≤10，≤t≤时，如图3中，

若PQ⊥DF，过点Q作QG∥DF交DE于G，则QG⊥QP，即∠GQP=90°，∴∠QPE＞90°，这与△QPE内角和为180°矛盾，此时PQ不与DF垂直．

综上所述：当t=2时，有PQ⊥DF．

（3）分三种情况讨论：

①当∠MAB=45°且M在x轴上方时．∵A（-1，0）在y轴上取点P（0，1）直线AP交在线CB于M，则∠MAB=45°，如图4．易求直线AP为y=x+1，易求直线BC的解析式为：y=2x－6，解方程组：，解得：，∴M（7，8）；

②当∠MAB=45°且M在x轴下方时．在y轴上取点Q（0，－1）直线AQ交在线CB于M′，则∠M′AB=45°，类似可求M（，）；

③若∠AMB=45°，过A作AP⊥BC于P，则△APM是等腰直角三角形，∴AP=PM．如图5．∵AP⊥CB，∴直线AP为，解方程组：，解得：，∴P（，），∴AP==．设M（a，2a－6），则MP=AP，∴=，整理得：25a2-110a+57=0，∴（5a-19）（5a-3）=0，解得：a=或a=，∴M（，）或M′（，）．

综上所述：存在一个点M，使△ABM中有一个角为45°，M的坐标为：M（7，8）或（，）或（，）或（，）．