Question

【题目】如图，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足为点D，交⊙O于点C，∠EAC=∠CAB．

（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，sin∠E= ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OA，

∵OE垂直于弦AB，

∴∠OCA+∠CAD=90°，

∵CO=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∵∠EAC=∠CAB，

∴∠EAC+∠OAC=90°，

∴OA⊥AE，

即直线AE是⊙O的切线．

（2）解：作CF⊥AE于F，

∵∠EAC=∠CAB，

∴CF=CD，

∵AB=8，

∴AD=4，

∵sin∠E= ，

∴ ， = ，

∴AE= ，DE= ，

∴CF=2，

∴CD=2，

设⊙O的半径r，

在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，

解得r=5．

∴⊙O的半径为5．

【解析】（1）要证直线AE是⊙O的切线，添加辅助线连接OA，先证明∠OCA+∠CAD=90°，再证明∠EAC+∠OAC=90°，即可得出答案。
（2）作CF⊥AE于F，根据角平分线的性质和三角函数的知识求出AE、DE的长，从而得出CD、CF的长，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求得圆的半径。
【考点精析】认真审题，首先需要了解角平分线的性质定理(定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上)，还要掌握勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)的相关知识才是答题的关键．