Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=1，AD= ，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵∠AFC=135°，CF与AH不垂直， ∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，
∴①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD= ，AB=1，
∴tan∠ADB= = ，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，∴②正确；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO﹣∠CAH=30°﹣15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，
∴③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO= DO= BD，
即BE=3ED，∴④正确；
即正确的有3个，
故选C．
求出OA=OC=OD=BD，求出∠ADB=30°，求出∠ABO=60°，得出等边三角形AOB，求出AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，根据以上结论推出即可．