Question

【题目】如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q

（1）这条抛物线的对称轴是 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 .
（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ ， 求m的值
（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PDDQ的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）2；
（2）

设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，S△POQ=S△PAQ不成立；

①当点B落在线段OA上时，如图①，

==，

由△OBE∽△ABF得，==，

∴AB=3OB，

∴OB=OA，

由y=x2﹣4x得点A（4，0），

∴OB=1，

∴B（1，0），

∴1+m=0，

∴m=﹣1；

②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，

同理可得OB=OA=2，

∴B（﹣2，0），

∴﹣2+m=0，

∴m=2，

综上，当m=﹣1或2时，S△POQ=S△PAQ；

（3）

①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，

可得△CHQ是等腰三角形，

∵∠CDQ=45°+45°=90°，

∴AD⊥PH，

∴DQ=DH，

∴PD+DQ=PH，

过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，

∴PH=PM，

∴当PM最大时，PH最大，

∴当点P在抛物线顶点出时，PM最大，此时PM=6，

∴PH的最大值为，

即PD+DQ的最大值为．

②由①可知：PD+DQ≤，

设PD=a，则DQ﹣a，

∴PDDQ≤a（﹣a）=﹣a2+a=﹣（a﹣）2+18，

∵当点P在抛物线的顶点时，a=，

∴PDDQ≤18．

∴PDDQ的最大值为18．

【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线的对称轴是x=2，
∵直线y=x+m，
∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），
∴交点到原点的距离相等，
∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，
故答案为x=2、45°．
（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；
（2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBE∽△ABF对应边成比例即可求得；
（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得出AD⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ﹣a，得出PDDQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3，得出PDDQ≤18．