Question

【题目】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， = = ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED= ∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】∵ = = ，点E是点D关于AB的对称点，

∴ = ，

∴∠DOB=∠BOE=∠COD= =60°，∴①正确；

∠CED= ∠COD= =30°= ，∴②正确；

∵ 的度数是60°，

∴ 的度数是120°，

∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，

∵∠CED=30°，

∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；

做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，

连接CD，

∵ = = = ，并且弧的度数都是60°，

∴∠D= =60°，∠CFD= =30°，

∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴DF是⊙O的直径，

即DF=AB=10，

∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；

故答案为：C．

由已知条件求出，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④，最后得到所求的结论.．