Question

【题目】如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）仔细观察，在图2中有 个以线段AC为边的“8字形”；

（2）在图2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P的度数．

（3）在图2中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），并说明理由；

（4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．

Answer 1

【答案】360°

【解析】

试题分析：（1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；

（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B=96°代入计算即可；

（3）与（2）的证明方法一样得到∠P=（2∠C+∠B）．

（4）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根据四边形内角和为360°可得答案．

解：（1）在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”，

故答案为3；

（2）∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，

∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，

∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，

∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，

即∠P=（∠C+∠B），

∵∠C=100°，∠B=96°

∴∠P=（100°+96°）=98°；

（3）∠P=（β+2α）；

理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，

∴∠BAP=∠BAC，∠BDP=∠BDC，

∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，

∴∠C﹣∠P=∠BDC﹣∠BAC，∠P﹣∠B=∠BDC﹣∠BAC，

∴2（∠C﹣∠P）=∠P﹣∠B，

∴∠P=（∠B+2∠C），

∵∠C=α，∠B=β，

∴∠P=（β+2α）；

（4）∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，

∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，

∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

故答案为：360°．