Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．

（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC=4，BC=3，求BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°．

∴∠A+∠ACD=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠DCB+∠ACD=90°．

∴∠A=∠DCB．

又∵∠ACB=∠BDC=90°，

∴△ABC∽△CBD

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∴CD= ，

∵CD⊥AB，

∴BD= = =

【解析】（1）根据直角三角形的锐角关系可证得∠A=∠DCB，再由∠ACB=∠BDC=90°，可证明结论.
（2）在Rt△ABC中由勾股定理可求得AB的长，再由三角形的面积公式可求得CD的长，再在Rt△BCD中由勾股定理可求得BD的长.
【考点精析】利用三角形的内角和外角和勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．