Question

【题目】在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，，．

（1）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；

（2）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动一周，当时，求半径OM所扫过的扇形的面积．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）；；；．

【解析】

试题分析：（1）根据切线的性质得到CP⊥OC，由于∠OAC=∠AOC=60°，于是得到∠P=90°-∠AOC=30°，在Rt△POC中，求得CO=PO=4，即可得到结论；

（2）如图，当S△MAO=S△CAO时，动点M的位置有四种．①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1，②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长，即可得到结论．

试题解析：（1）∵CP与⊙O相切，OC是半径．

∴CP⊥OC，

又∵∠OAC=∠AOC=60°，

∴∠P=90°-∠AOC=30°，

∴在Rt△POC中，CO=PO=4，

则PO=2CO=8；

（2）如图，

①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．

易得S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°∴当点M运动到M1时，S△MAO=S△CAO，

此时点M经过的弧长为，

∴半径OM所扫过的扇形的面积=；

②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，易得S△M2AO=S△CAO．

∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°

∴或，

∴当点M运动到M2时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为，

∴半径OM所扫过的扇形的面积=××4=π；

③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，易得S△M3AO=S△CAO

∴∠BOM3=60°，

∴=×240或=×2=

∴当点M运动到M3时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为，

∴半径OM所扫过的扇形的面积=××4=；

④当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO=S△CAO，

此时点M经过的弧长为×300°或π+=

∴半径OM所扫过的扇形的面积=××4=．