Question

【题目】如图，在等边三角形ABC中，AB=2，动点D从B开始沿BC向点C运动，到达点C后停止运动，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则下列说法中，正确的是（　　）

①DE的最小值为1；②ADCE的面积是不变的；③在整个运动过程中，点E运动的路程为2；④在整个运动过程中，△ADE的周长先变小后变大．

A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据旋转的性质易证△ADE为等边三角形，可得DE=AD，当AD⊥BC时，AD最小，由此求得AD=，即可判定①错误；由旋转的性质可得△ABD的面积=△ACE的面积，即可得DCE的面积=等边三角形ABC的面积，由此判断②正确；由题意可得点E运动的路程等于等边三角形的边长即为2，即可判定③正确；在整个运动过程中，AD先变小，在变大，由（1）可知△ADE为等边三角形，即可得△ADE的周长先变小后变大，即可得④正确.

当BD=DC时，DE有最小值，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=2，∠B=∠BAC=60°，

∵D是BC的中点，即BD=DC=BC=1，

∴AD⊥BC，∠BAD=30°，

∴AD=BD=，

∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，

∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，

∴△ADE为等边三角形，

∴DE=AD=，

故①错误；

∵将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，

∴△ABD的面积=△ACE的面积，

∴ADCE的面积=等边三角形ABC的面积，

故②正确；

在整个运动过程中，点E运动的路程等于等边三角形的边长即为2，

故③正确；

在整个运动过程中，△ADE的周长先变小后变大，④正确；

故选C．