Question

【题目】如图，中，其中；

（1）求线段的长（用和的代数式表示）；

（2）如图1，若，点在上，点在上，点到和BC的距离相等，，连接，求的长；

（3）如图2，若为的中点，，点分别在线段上，且，连接，和，求EF的值；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据勾股定理计算即可；

（2）过F作FM⊥AC于M，FN⊥BC于N，证明四边形FNCM为正方形，利用FN∥AC，得到，解出正方形的边长，运用勾股定理可求出DF的长；

（3）过F作FG⊥AC于点G，根据已知条件证明△ECD≌△DGF，得到条件证明△EDF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可求得结果.

解：（1）根据勾股定理，∵BC=a，AC=b，∠ACB=90°，

∴AB=；

（2）由题意可得：BC=6，AC=8，

∴AB=，

过F作FM⊥AC于M，FN⊥BC于N，

∵F到AC和BC距离相等，

可得四边形FNCM为正方形，

设CM=CN=FN=FM=x，

∵FN⊥BC，AC⊥BC，

∴FN∥AC，

∴，即，

解得：x=，

∴AM=8-x=，

∵AF=AD，

∴AF==AD，

∴DM=AD-AM=，

∴DF=；

（3）由题意可得：BC=6，AC=8，

∴AB=，

∵F为AB中点，

∴AF=BF=5，

过F作FG⊥AC于点G，

∴FG=BC=3，

∴AG=，

∵BE=BF，AF=AD，

∴BE=5，CE=1，AD=5，CD=3，DG=AD-AG=1，

在△ECD和△DGF中，

，

∴△ECD≌△DGF（SAS），

∴ED=FD，∠EDC=∠DFG，

∵∠DFG+∠FDG=90°，

∴∠EDC+∠FDG=90°，

∴∠EDF=90°，

∴△EDF为等腰直角三角形，

∵EC=1，CD=3，

∴ED==FD，

∴EF=.